☛ Vrai ou faux ?

Énoncé

Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse ou si on ne peut pas conclure. Justifier.

1. On sait que le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(-1\) alors on peut affirmer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a \(f(x)\geq 0\).
2. On sait que le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(-1\) alors on peut affirmer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a \(f(x)\geq -2\).
3. On sait que le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(-1\) alors on peut affirmer que le point de coordonnées \((-1;-1)\) est le seul point de la courbe représentative de \(f\) ayant l'ordonnée la plus petite.
4. On sait que le maximum de \(f\) sur \([-3;4]\) est \(-1\) alors on peut affirmer que, pour tout \(x\in [-3;4]\), on a \(f(x)\leq0\).
5. On sait que le maximum de \(f\) sur \([-1;5]\) est \(8\) alors on peut affirmer que la courbe possède des points ayant une ordonnée égale à \(1\). 
6. On sait que, pour tout \(x\in [-2;3[\), on a \(-4\leq f(x) \leq 0\) alors le maximum de \(f\) sur \([-2;3[\) est \(0\).
7. On sait que \(f(2)=7\) et que, pour tout \(x\in [0;3]\), on a \(f(x)\leq 7\). Alors \(7\) est le maximum de \(f\) sur l'intervalle \([0;3]\).
8. On sait que \(f(2)=7\) et que, pour tout \(x\in [3;10]\), on a \(f(x)\leq 7\). Alors \(7\) est le maximum de \(f\) sur l'intervalle \([3;10]\).

Solution

1. \(-1\) est le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(-1\) est la plus petite image obtenue par \(f\) et \(-1<0\). Donc il existe au moins un réel \(x\) ayant une image strictement négative. On ne peut donc pas affirmer pour tout \(x\in \mathbb{R} : f(x)\geq 0\). Faux.
2. \(-1\) est le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), donc pour tout \(x\in \mathbb{R}: f(x)\geq -1>-2\) et donc on a bien pour tout \(x\in \mathbb{R}: f(x)\geq -2\). Vrai.
3. \(-1\) étant le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), cela permet de savoir que \(-1\) est l'ordonnée la plus petite de tous les points de la courbe de \(f\). Il peut y avoir plusieurs points de \(\mathscr{C}_f\) ayant pour ordonnée \(-1\), le minimum peut être atteint plusieurs fois. On ne dispose pas d'information concernant les abscisses pour lesquels le minimum est atteint.
Donc on ne peut pas conclure si le point de coordonnées \((-1;-1)\) est le seul point de la courbe représentative de \(f\) ayant l'ordonnée la plus petite, il se peut même que ce point n'appartienne pas à la courbe.
4. \(-1\) est le maximum de \(f\) sur \([-3;4]\), donc pour tout \(x\in [-3;4]: f(x)\leq -1<0\) et donc on a bien pour tout \(x\in [-3;4]: f(x)\leq 0\). Vrai.
5. L'énoncé permet d'affirmer que la courbe possède au moins un point ayant une ordonnée égale à \(8\) et que tous les points de la courbe ont une ordonnée inférieure ou égale à \(8\) mais peut-être que la courbe possède un minimum plus grand que 1, on ne le sait pas. On ne peut donc pas affirmer que la courbe possède un ou des points ayant une ordonnées égale à \(1.\) Faux.
6. L'énoncé indique que les images par \(f\) sont comprises entre \(-4\) et \(0\), mais on ne sait pas si ces valeurs sont atteintes. Donc on ne peut rien affirmer concernant le maximum (ni le minimum) de \(f\)  sur \([-2;3[\). Faux.
7. On sait que \(7\) est atteint en \(x=2 \in [0;3]\) et que pour tout \(x\in [0;3]: f(x)\leq 7\). Donc \(7\) est bien le maximum de \(f\) sur l'intervalle \([0;3]\). Vrai.
8. \(2\notin[3;10]\) donc on ne peut pas conclure que \(7\) est le maximum de \(f\) sur \([3;10]\) puisqu'on ne sait pas si \(7\) est atteint sur \([3;10]\).